Modos Normales de una Cuerda

Modos normales

Consideremos ondas estacionarias en una cuerda(o en un tubo acústico). Distinguiremos tres situaciones: 1) Los dos extremos están fijos. Por lo tanto corresponden a nodos de la onda estacionaria. Sea L el largo de la cuerda(o del tubo acústico). Se tiene que:
\begin{displaymath} kL=n\pi, n entero \end{displaymath}

Esto es:
\begin{displaymath} \lambda=\frac{2L}{n}, n=1,2... \end{displaymath}

Sólo estas longitudes de onda se mantendrán en la cuerda con dos extremos fijos (modos normales). Las frecuencias naturales asociados con estos modos son:
\begin{displaymath} f_n=n\frac{v}{2L}, n=1,2.. \end{displaymath}

n=1 se llama la frecuencia fundamental y los otros el n-ésimo armónico. Ej: Los tonos de una guitarra. Para una guitarra de densidada lineal de masa $\mu$ y tensión T se tiene:
\begin{displaymath} v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \end{displaymath}

la frecuencia de los armónicos es:
\begin{displaymath} f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \end{displaymath}

En general, en un momento dado, la cuerda vibra con la frecuencia de varios armónicos, dependiendo de las condiciones iniciales. 2) Un extremo fijo y el otro libre. En este caso el extremo fijo debe ser un nodo y el libre un antinodo de la onda estacionaria. Calculando la distancia entre un nodo y un antinodo se encuentra que:
\begin{displaymath} kL=(2n+1)\frac{\pi}{2}, n entero \end{displaymath}

Esto es:
\begin{displaymath} \lambda=\frac{4L}{2n+1},n=0,1,2... \end{displaymath}

3) Los dos extremos libres. Los dos extremos son antinodos. Se tiene que:
\begin{displaymath} kL=n\pi, n entero \end{displaymath}

Esto es:
\begin{displaymath} \lambda=\frac{2L}{n}, n=1,2... \end{displaymath}

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